在某星系的每个星球上，都有一位天文学家在观察最近的星球，星球之间的距离各不相等。证明：如果星球的数目为奇数，则必有某个星球无人观察。
一个物体在两个平面上的平行投影都是圆。证明：这两个圆的半径相等。
这两道题分别取自1966年全俄罗斯和1971年全苏联数学奥林匹克竞赛，受试者都是八到十年级的学生。
第一题，我们假设共有$n$个星球。如果选取两个相距最近的星球，显然，两个星球上的天文学家在互相观察。接下来剩下$n-2$个星球：如果这$n-2$个星球中至少有一个天文学家在观察之前选取的星球，那么必有星球无人观察；如果取出的两个星球没有其他人观察，那么就对这$n-2$个星球取出两个相距最近的星球，重复操作。由于$n$是奇数，所以最终会剩下一个星球无人观察。
第二题，如果两个平面平行，那么显然成立。如果不平行，考虑该物体在两个平面的交线$l$上的投影。显然这个投影既是物体在一个平面上的投影再向$l$上的投影，又是物体在另一个平面上的投影再向$l$上的投影。而圆向所在平面内的直线所作的投影都是一条长度等于直径的线段。